로그 함수, 느리지만 멈추지 않는 성장의 수학

우리는 숫자가 커질수록 그 크기를 직관적으로 가늠하기 어렵습니다. 특히 1억, 1조, 1경, 그 이상이 되면 “단지 크다”라는 감각만 남게 됩니다. 하지만 여기에 **로그 함수(log)**를 적용하면, 이러한 거대한 수의 규모를 비교적 압축된 형태로 바라볼 수 있습니다.

로그 함수의 기본 개념

자연로그(ln⁡x\ln x)는 **“어떤 수를 e의 몇 제곱으로 나타낼 수 있는가”**를 묻는 함수입니다. ln⁡x=y⇔ey=x\ln x = y \quad \Leftrightarrow \quad e^y = x

여기서 e≈2.71828e \approx 2.71828은 자연상수입니다. 로그 함수의 중요한 특징 중 하나는 x가 커질수록 값이 무한히 증가하지만, 증가 속도는 점점 느려진다는 점입니다.

증가율이 줄어드는 이유

로그 함수의 도함수는 다음과 같습니다. ddxln⁡x=1x\frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}

x가 커질수록 1/x1/x 값은 작아지며, 그 결과 ln x의 기울기도 점점 줄어듭니다. 하지만 기울기가 줄어든다고 해서 어느 값에 수렴하는 것은 아닙니다. lim⁡x→∞ln⁡x=∞\lim_{x \to \infty} \ln x = \infty

즉, x가 아무리 커져도 ln x는 끝없이 증가합니다.

구체적인 예시

다음은 커다란 수에 자연로그를 적용했을 때의 값입니다.

수 xx	ln⁡x\ln x 값
10	2.3026
10610^6 (백만)	13.8155
102010^{20} (100경)	46.0517
1010010^{100} (구골)	230.2585
10(10100)10^{(10^{100})} (구골플렉스)	약 2.3026×101002.3026 \times 10^{100}

흥미롭게도 100경처럼 상상하기 어려운 큰 수조차 ln을 취하면 겨우 46 정도의 값이 나옵니다. 반면 구골플렉스처럼 극단적으로 큰 수에 대해서는 ln 값이 여전히 엄청나게 크지만, 그 증가 폭은 x 자체의 스케일에 비하면 극도로 완만합니다.

로그의 활용

로그 함수는 수학뿐만 아니라 통계, 정보이론, 머신러닝, 물리학 등 광범위하게 사용됩니다.

• 정보 검색(BM25): 단어의 희귀도를 측정하는 IDF(Inverse Document Frequency)에 로그를 적용
• 데이터 스케일링: 매우 큰 값의 범위를 압축하여 계산 안정성 확보
• 성장률 분석: 주식, 인구, 지수 함수적 증가를 선형화하여 분석

이러한 분야에서는 로그의 “느리지만 무한히 증가하는” 성질이 핵심적인 도구로 활용됩니다. 특히 큰 수를 다루는 경우, 로그는 단순 계산을 넘어 데이터의 구조를 재해석하게 만드는 창입니다.

마무리

로그 함수는 단순한 수학적 정의를 넘어, 우리가 세상을 이해하는 방식에 깊이 스며 있습니다. 숫자가 아무리 커져도 그 성장세를 압축해 보여주는 특성은, 빅데이터 시대의 정보 처리와 해석에 필수적인 역할을 하고 있습니다. 거대한 스케일 속에서도 질서를 찾아내는 이 도구는, 오늘날에도 여전히 수학의 가장 강력한 렌즈 중 하나입니다.