TL;DR: 와일즈는 “세미안정 타원곡선은 모두 모듈러”임을 증명했고(1994 보완), 리베의 정리와 결합해 페르마의 마지막 정리( n>2 에서 aⁿ+bⁿ=cⁿ 정수해 없음)를 귀류로 끝냈다.

요점 정리

• 정리(FLT): n>2 인 자연수에 대해 aⁿ+bⁿ=cⁿ 를 만족하는 서로소 정수해는 없다.
• 핵심 전략(아이디어 연결고리)
  1. 만약 FLT의 반례가 있다면, 그 해로부터 프레이 곡선(Frey elliptic curve) 을 만든다.
  2. 리베의 정리(1986): 그 프레이 곡선은 모듈러가 될 수 없다(비모듈러).
  3. 와일즈(1993 발표, 1994 보완): 모든 세미안정 타원곡선은 모듈러(타니야마–시무라–바이유 추측의 특수 경우)임을 증명.
  4. 프레이 곡선은 한편 세미안정이므로 모듈러여야 한다 ↔ 리베에 따르면 비모듈러여야 한다 → 모순 → 반례 불가 → FLT 성립.
• 수학 도구(한 줄씩)
  • 타원곡선 ↔ 모듈러 형식의 대응(모듈러성 정리의 일부)
  • 갈루아 표현과 헤케 대수 사이의 동형(소위 R=T 방법)
  • 변형 이론(Mazur), Taylor–Wiles 패칭으로 증명 보완
• 연표
  • 1986: 리베, 프레이 곡선이 비모듈러임을 증명(레벨 내림).
  • 1993: 와일즈, 케임브리지 강연에서 증명 발표(초고에 결함).
  • 1994: Taylor–Wiles 기법으로 결함 수정, 최종 증명 확정.
  • 1995: 『Annals of Mathematics』에 와일즈/테일러–와일즈 논문 게재.
  • 2001: Breuil–Conrad–Diamond–Taylor가 모듈러성 정리를 모든 타원곡선으로 확장.
• 의의
  • 350여 년 난제를 현대수학(수론·해석·대수기하)을 잇는 대통합적 방법으로 해결.
  • 모듈러성 정리의 진전이 후속 연구와 수론 전반에 지속적 파급효과를 남김.

TL;DR: “페르마 반례가 있다”라고 가정해 그 숫자들로 특수한 타원곡선(프레이 곡선)을 만든 뒤, 이 곡선이 동시에 모듈러이면서 모듈러가 아닐 수밖에 없는 상황을 만들어 모순을 일으킨다 → 가정이 틀렸고, 따라서 n>2에는 정수해가 없다.

설명

1. 먼저 가정한다.
   페르마의 마지막 정리(FLT)가 틀렸다고 가정한다. 즉, 어떤 양의 정수 a,b,c,n(>2)a,b,c,n(>2)a,b,c,n(>2)가 an+bn=cna^n+b^n=c^nan+bn=cn을 만족한다고 가정한다.
2. 그 가정에서 타원곡선을 만든다(프레이 곡선).
   이 가상 해 (a,b,c,n)(a,b,c,n)(a,b,c,n)로 특정한 형태의 타원곡선 하나를 구성할 수 있는데, 이를 프레이 곡선이라 부른다. 이 곡선은 기술적으로 “세미안정(semistable)”이라는 성질을 갖는다. (거칠게 말해, 나쁜 성질이 너무 심하지 않다 정도로 생각하면 된다.)
3. 리베(1986)의 결과: 프레이 곡선은 모듈러가 될 수 없다.
   수론의 정교한 도구(레벨 내림 정리)를 써서, 리베는 “만약 위와 같은 페르마의 반례가 존재한다면 그로부터 얻는 프레이 곡선은 모듈러 곡선이 아니다”라고 보였다. 즉, 프레이 곡선은 모듈러 형식에서 오지 않는다.
4. 와일즈(1994, 테일러–와일즈 1995)의 결과: 세미안정 타원곡선은 모두 모듈러다.
   와일즈는 타니야마–시무라–바이유 추측의 특수 경우를 증명했다. 핵심 결론은: 세미안정인 모든 타원곡선은 모듈러라는 것이다. 프레이 곡선은 세미안정이므로, 와일즈의 정리에 의해 모듈러여야 한다.
5. 모순이 생긴다.
   같은 프레이 곡선이 리베에 따르면 “모듈러가 아니다”, 와일즈에 따르면 “모듈러다.” 동시에 그럴 수는 없으니 모순이다.
6. 가정이 틀렸다는 결론 → FLT 성립.
   모순은 처음 가정(“페르마의 반례가 있다”)에서 비롯되므로, 그 가정이 틀렸다는 뜻이다. 따라서 n>2n>2n>2에서 an+bn=cna^n+b^n=c^nan+bn=cn을 만족하는 정수해는 존재하지 않는다. 이것이 와일즈의 증명 전략의 완성이다.